Overleafにまとめようと思ってガリガリ書いてたら、AR(1)の自己相関行列の逆って一様三項行列になっていないことに気づく。 簡単な式変形で行けないかなと思ったけどうまく行かずハマっていた。 （一様三項行列も差分方程式が出てくるのでかなり手強い。。。）
5時間くらい苦悶した後にネットの海を泳いで探していた所、AR(1)の逆行列を議論しているところがあった （AR(1)の自己相関行列はKac--Murdock--Szego (KMS) matrixというらしい）
- Asymptotic distribution of the spectra of aclass of generalized Kac--Murdock--Szego matrices 周辺文献も書いていて有益。
- Toeplitz forms and their applications 上の文献が参照していた。導出が書いてあるかなり広範な文献。
- Numerical Solution of the Eigenvalue Problem for Symmetric Rationally Generated Toeplitz matrices
- Properties of Some Generalizations of Kac-Murdock-Szeg ̈o Matrices いろいろなKMS行列に対して固有値を計算している。どこかで刺さるかも。
問題は、バシッとした固有値が書かれていないところか。固有値の満たす範囲を示している。そして導出ちゃんと見てない。明日見よう。
\begin{align*}
\lambda_{k} &= \frac{1 - \rho^{2}}{1 + \rho^{2} - 2\rho\cos \theta_{k}} \\
& \frac{(k-1)\pi}{n+1} < \theta_{k} < \frac{k\pi}{n+1} \quad k = 1, ..., n
\end{align*}
一方、一様三項行列の固有値は \(\lambda_{k} = \frac{1 - \rho^{2}}{1 + \rho^{2} - 2\rho\cos\left( \frac{k\pi}{n+1} \right)}\) となっている。つまり、KMSの方は僅かに角度が小さくて、それ以外は全く同じということになる。また \(n\) を大きくしていけばその差はどんどん狭まる。